【題目】設(shè)函數(shù).若曲線在點處的切線方程為
(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是
(2)
【解析】試題分析:(1)第(1)問,先根據(jù)曲線在點處的切線方程為
求出m=1,n=0,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)第(2)問,先把原命題轉(zhuǎn)化為函數(shù)對任意恒成立,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)H(x)的單調(diào)性,檢驗每一種情況下H(x)的最大值是否小于零.
試題解析:
(1)函數(shù)定義域為.得,
,即所以.所以,
.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.
(2)由題得函數(shù)對任意恒成立,
即不等式對任意恒成立.
又,當(dāng)即恒成立時,
函數(shù)遞減,設(shè),則,所以,即,符合題意;
當(dāng)時, 恒成立,此時函數(shù)單調(diào)遞增.于是不等式對任意恒成立,不符合題意;
當(dāng)時,設(shè),
則 ;
當(dāng)時, ,此時單調(diào)遞增,
,
故當(dāng)時,函數(shù)遞增.于是當(dāng)時, 成立,不符合題意;
綜上所述,實數(shù)的取值范圍為: .
點睛:本題的難點在于得到后如何解不等式>0或<0,只有解出了不等式才能得到函數(shù)H(x)的單調(diào)區(qū)間.本題利用了再構(gòu)造再求導(dǎo)的方法(即二次求導(dǎo)).當(dāng)我們求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)之后,如果不易解出,可以利用二次求導(dǎo)找不等式的解集,從而找到原函數(shù)的單調(diào)性.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2(cos θ+sin θ).
(1)求C的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線l: (t為參數(shù))與曲線C交于A,B兩點,與y軸交于點E,求|EA|+|EB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E的方程: ,P為橢圓上的一點(點P在第三象限上),圓P 以點P為圓心,且過橢圓的左頂點M與點C(﹣2,0),直線MP交圓P與另一點N.
(1)求圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點A在橢圓E上,求使得 取得最小值的點A的坐標(biāo);
(3)若過橢圓的右頂點的直線l上存在點Q,使∠MQN為鈍角,求直線l斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1,
(1)求{an}的通項公式
(2)設(shè)bn=log2an+2 , 求 的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若方程在上有根,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),若對任意的,都有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,且函數(shù)g(x)=loga(x2+x+2)(a>0,且a≠1)在[﹣ ,1]上的最大值為2,若對任意x1∈[﹣1,2],存在x2∈[0,3],使得f(x1)≥g(x2),則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣ ]
B.(﹣∞, ]
C.[ ,+∞)
D.[﹣ ,+∞]
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【題目】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世界衛(wèi)生組織設(shè)定的最寬限值,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).
某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取6天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值莖葉圖(十位為莖,個位為葉)如圖所示,若從這6天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出2天,
(1)求恰有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率;
(2)求至多有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率.
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【題目】求函數(shù)y=的值的程序框圖如圖所示.
(1)指出程序框圖中的錯誤,并寫出算法;
(2)重新繪制解決該問題的程序框圖,并回答下面提出的問題.
①要使輸出的值為正數(shù),輸入的x的值應(yīng)滿足什么條件?
②要使輸出的值為8,輸入的x值應(yīng)是多少?
③要使輸出的y值最小,輸入的x值應(yīng)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)若,試判斷函數(shù)的零點個數(shù);
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求整數(shù)的最大值.
(可能要用到的數(shù)據(jù): , , )
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