Question

某工廠生產(chǎn)兩批產(chǎn)品，第一批的10件產(chǎn)品中優(yōu)等品有4件；第二批的5件產(chǎn)品中優(yōu)等品有3件，現(xiàn)采用分層抽樣方法從兩批產(chǎn)品中共抽取3件進行質(zhì)量檢驗．
（I）求從兩批產(chǎn)品各抽取的件數(shù)；
（Ⅱ）記ξ表示抽取的3件產(chǎn)品中非優(yōu)等品的件數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（I）第一批有10件產(chǎn)品，第二批有5件產(chǎn)品，共有產(chǎn)品10+5件，現(xiàn)采用分層抽樣方法從兩批產(chǎn)品中共抽取3件進行質(zhì)量檢驗，得到每個個體被抽到的概率，根據(jù)兩種產(chǎn)品的個數(shù)和被抽到的概率得到結果．
（Ⅱ）根據(jù)ξ表示抽取的3件產(chǎn)品中非優(yōu)等品的件數(shù)，而第一批的10件產(chǎn)品中優(yōu)等品有4件；第二批的5件產(chǎn)品中優(yōu)等品有3件，得到ξ的可能取值為0，1，2，3，寫出變量的分布列，寫分布列時，可以把最麻煩的放到最后，根據(jù)概率之和是1得到．

解答：解：（I）∵第一批有10件產(chǎn)品，第二批有5件產(chǎn)品，
現(xiàn)采用分層抽樣方法從兩批產(chǎn)品中共抽取3件進行質(zhì)量檢驗，
∴每個個體被抽到的概率是

3

10+5

=

1

5

∴第一批應抽取

1

5

×10=2件，
第二批應抽取

1

5

×5=1件；
（Ⅱ）∵ξ表示抽取的3件產(chǎn)品中非優(yōu)等品的件數(shù)，
∴ξ的可能取值為0，1，2，3
P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 10

×

C 1 3

C 1 5

=

6

75

P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 6 C 1 3

C 2 10 C 1 5

+

C 2 4 C 1 2

C 2 10 C 1 5

=

28

75

P（ξ=3）=

C 2 6 C 1 2

C 2 10 C 1 5

=

10

75

P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

31

75

∴ξ的分布列如下：

∴Eξ=0×

6

75

+1×

28

75

+2×

31

75

+3×

10

75

=

8

5

．

點評：本題是一個分層抽樣和離散型隨機變量的分布列和期望問題，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，是可以得滿分的一道題目．