Question

由棱長(zhǎng)為a的正方體的每個(gè)面向外側(cè)作側(cè)棱為a的正四棱錐，以這些棱錐的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多面體的全面積是

（3

3

+2

6

）a²

．

Answer 1

分析：由已知，凸多面體是個(gè)正八面體，所作的正四棱錐的高為h′=

2 a

2

，正八面體相對(duì)的兩頂點(diǎn)的距離應(yīng)為2h′+a=1+

2

a，設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)x，則

2

x=（1+

2

）a，這樣求出正八面體棱長(zhǎng)以后，就能求出全面積．

解答：解：由棱長(zhǎng)為a的正方體的每個(gè)面向外側(cè)作側(cè)棱為a的正四棱錐，共可作6個(gè)，得到6個(gè)頂點(diǎn)，圍成一個(gè)正八面體．所作的正四棱錐的高為h′=

2 a

2

，
正八面體相對(duì)的兩頂點(diǎn)的距離應(yīng)為2h′+a=1+

2

a
正八面體的棱長(zhǎng)x滿足

2

x=（1+

2

）a，x=（1+

2

2

）a，
每個(gè)側(cè)面的面積為

3

4

x2=

3

4

×（1+

2

2

）²a²=

3 3 +2 6

8

a²，
全面積是8×

3 3 +2 6

8

=3

3

+2

6

故答案為：（3

3

+2

6

）a²

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，表面積的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．本題得出正八面體的棱長(zhǎng)是關(guān)鍵．是道好題．