Question

空間四邊形ABCD中，對角線BD=12

2

，AC=4

2

，連接各邊中點(diǎn)所成的四邊形PQRS的面積為12

3

，則AC與BD所成角的大小為

60°

．

Answer 1

分析：如圖，根據(jù)三角形的中位線定理知，PS、PQ的長為其第三邊的一半，根據(jù)平行四邊形的面積公式即得．

解答：解：連接P，Q，因?yàn)镻Q是△ABC的中位線，所以PQ∥AC，且PQ=

1

2

AC．
同理，SR∥AC，PQ∥BD，且SR=

1

2

AC=2

2

，PS=

1

2

BD=6

2

．
所以四邊形PQRS邊形，∠SPQ或其補(bǔ)角即為AC與BD所成的角．
∵s_PQRS=PS•PQ•sin∠SPQ⇒sin∠SPQ=

SPQRS

PS•PQ

=

3

2

．
∴∠SPQ=60°或120°．
所以AC與BD所成角的大小為60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評：本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及異面直線及其所成的角，屬于基礎(chǔ)題．解決本題的關(guān)鍵在于得到四邊形PQRS為平行四邊形．