Question

已知M(1+cos2x，1)，N(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常數(shù)），且y=

OM

•

ON

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為4，求a的值；
（3）在滿足（2）的條件下，說(shuō)明f（x）的圖象可由y=sinx的圖象如何變化而得到？

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量的坐標(biāo)求得函數(shù)的解析式．
（2）利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，根據(jù)x的范圍確定2x+

π

6

的范圍進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值，求得a．
（3）根據(jù)（2）可知f（x）=sin（x+

π

6

）+2，然后利用三角函數(shù)圖象平移的法則求得答案．

解答：解：（1）y=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a，
所以f(x)=cos2x+

3

sin2x+1+a
（2）f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1+a，
因?yàn)?span id="lzye6qt" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0≤x≤

π

2

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

時(shí)f（x）取最大值3+a，
所以3+a=4，a=1
（3）①將y=sinx的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位得到函數(shù)f(x)=sin(x+

π

6

)的圖象；
②將函數(shù)f(x)=sin(x+

π

6

)的圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

得到函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

6

)的圖象；
③將函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

6

)的圖象保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

6

)的圖象；
④將函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

6

)的圖象向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2的圖象

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)圖象的變換．考查了運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．