Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為2，E是棱A₁B₁的中點．
（1）求異面直線A₁B₁與BD的距離；
（2）求直線EC₁與BD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可得BB₁⊥面ABCD，BB₁⊥面A₁B₁C₁D₁故可得B₁B⊥BD且B₁B⊥A₁B₁，則根據(jù)異面直線間的距離的定義可知線段B₁B的長即為所求．
（2）根據(jù)異面直線所成的角的定義可知需將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線故可取A₁D₁中點H連接EH，HC₁則可得EC₁與BD所成角為∠HEC₁（或其補(bǔ)角）然后在三角形EHC₁中利用余弦定理即可求解．

解答：解：（1）∵B₁B⊥AB，B₁B⊥BC，
∴B₁B⊥平面ABCD
∴B₁B⊥BD
又B₁B⊥A₁B₁，
∴線段B₁B的長即為所求．
∵B₁B=2，
∴異面直線A₁B₁與BD的距離為2．
（2）取A₁D₁中點H
∴EH∥B₁D₁
∴EH∥BD
∴EC₁與BD所成角為∠HEC₁（或其補(bǔ)角）
設(shè)正方體棱長為2，則HE=

2

，EC₁=

5

，HC₁=

5

∴cos∠HEC₁=

HE2+EC12-HC12

2HE×EC1

=

2+5-5

2× 2 × 5

=

10

10

＞0
∴EC₁與BD所成角為arccos

10

10

點評：本題主要考察了異面直線間的距離和異面直線所成的角．解題的關(guān)鍵是要充分理解異面直線間的距離和異面直線所成的角的定義，同時再利用余弦定理求角時要根據(jù)角的余弦值的正負(fù)決定異面直線所成的角是這個角還是其補(bǔ)角！