Question

（本小題14分）

設(shè)函數(shù)，其中．

（I）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（II）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（III）證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立．

Answer 1

（1）在定義域上單調(diào)遞增（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

解析:

（I） 函數(shù)的定義域?yàn)?img width=59 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/145/414945.gif" >．     1分

                          2分

令，則在上遞增，在上遞減  

．                             4分

當(dāng)時(shí)，，

在上恒成立．

即當(dāng)時(shí),函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增． 5分

（II）分以下幾種情形討論：

（1）由（I）知當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．         6分

（2）當(dāng)時(shí)，

時(shí)，時(shí)，

時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)．         7分

（3）當(dāng)時(shí)，解得兩個(gè)不同解，8分

當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)在上有唯一的極小值點(diǎn)．     9分

當(dāng)時(shí)，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)．10分

綜上可知，時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；

時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；

時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)．               

（III） 當(dāng)時(shí)，

令則在上恒正 

在上單調(diào)遞增              

當(dāng)時(shí)，恒有．           12分

即當(dāng)時(shí)，有，

對(duì)任意正整數(shù)，取得            14分