Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若在處取得極值，求的值；

（Ⅱ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增, 求的取值范圍；

（Ⅲ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得，即可解得，注意檢驗(yàn)；（Ⅱ）由條件可得，在區(qū)間上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的范圍，即可得到的范圍；（Ⅲ）令，求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和最值，即可得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，

由已知在處取得極值，所以.

解得，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，在處取得極小值.所以.…3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.

因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立.

即在區(qū)間上恒成立. 所以.

（III）因?yàn)?/span>，所以，.

令得， 令，.

.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

時(shí)，，在上單調(diào)遞減.

所以.

綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).