Question

6．設(shè)函數(shù)$f（x）=2ln{x^2}-\frac{1}{2}m{x^2}-nx$．
（I）若m=-1，n=3，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x=2是f（x）的極大值點，求出m的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試討論y=f（x）零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將m=-1，n=3代入f（x），求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍判斷函數(shù)的極大值的情況，進(jìn)而判斷出m的范圍；
（Ⅲ）先求出f（x）_max=f（2）=2ln2+2m-2，通過討論m的范圍去掉函數(shù)的零點問題．

解答 解：（Ⅰ）由m=-1，n=3，得：f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$x²-3x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，（x＞0），
∴x＞2或0＜x＜1時，f′（x）＞0，1＜x＜2時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1），（2，+∞）遞增，在（1，2）遞減；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-n，（x＞0），
由已知得f′（2）=0，整理得2m+n=1，
∴f′（x）=$\frac{（x-2）（-mx-1）}{x}$，
m≥0時，-mx-1＜0恒成立，
x＞2時，f′（x）＜0，0＜x＜2時，f′（x）＞0，
f（x）在x=2處取得極大值，滿足題意，
m＜0時，令f′（x）=0，解得：x=2或x=-$\frac{1}{m}$，
要使f（x）在x=2處取得極大值，只需-$\frac{1}{m}$＞2，解得：-$\frac{1}{2}$＜m＜0，
綜上，m＞-$\frac{1}{2}$時，f（x）在x=2處取得極大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得m≥0時，f（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
f（x）_max=f（2）=2ln2+2m-2，
當(dāng)f（2）＞0即m＞1-ln2時，f（x）有2個零點，
當(dāng)f（2）=0即m=1-ln2時，f（x）有1個零點，
當(dāng)f（2）＜0即m＜1-ln2時，f（x）沒有零點，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜m＜0時，f（x）在（0，2），（-$\frac{1}{m}$，+∞）遞增，在（2，-$\frac{1}{m}$）遞減，
f（2）＜0，f（x）至多1個零點，
法一：在（-$\frac{1}{m}$，+∞）取一點x=4-$\frac{2}{m}$=$\frac{4m-2}{m}$，代入f（x）得：
f（4-$\frac{2}{m}$）=2ln（4-$\frac{2}{m}$）-$\frac{1}{2}$m•$\frac{{4（2m-1）}^{2}}{{m}^{2}}$+（2m-2）•$\frac{4m-2}{m}$=2ln（4-$\frac{2}{m}$）＞0，
f（x）在（-$\frac{1}{m}$，+∞）上必有1個零點，
法二：y=2lnx在（0，+∞）遞增，y=-$\frac{1}{2}$mx²-（1-2m）x是開口向上的二次函數(shù)，
∴f（x）在（-$\frac{1}{m}$，+∞）上必有正值，即f（x）在（-$\frac{1}{m}$，+∞）上必有1個零點，
綜上，m＞1-ln2時，f（x）有2個零點，m=1-ln2或-$\frac{1}{2}$＜m＜0時，f（x）有1個零點，
0≤m＜1-ln2時，f（x）沒有零點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．