Question

已知數(shù)列{f（n）}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求數(shù)列{f（n）}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N），求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用n≥2時(shí)，f（n）=S_n-S_n-1=2n+1．求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）判斷數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．求出a_n=2ⁿ⁺¹-1，（n∈N^*）．然后利用等比數(shù)列求和即可．

解答：解：（Ⅰ）n≥2時(shí)，f（n）=S_n-S_n-1=2n+1．n=1時(shí)，f（1）=S₁=3，適合上式，
∴f（n）=S_n-S_n-1=2n+1．（n∈N^*）．
（Ⅱ）a₁=f（1）=3，a_n+1=2a_n+1，（n∈N^*）．即a_n+1+1=2（a_n+1）．
∴數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．a(chǎn)_n+1=（a₁+1）•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹．
a_n=2ⁿ⁺¹-1，（n∈N^*）．
T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n=2ⁿ⁺²-4-n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和與數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，考查計(jì)算能力，數(shù)列的函數(shù)特征．