Question

如圖，已知直線l：4x-3y+6=0，拋物線C：y²=4x圖象上的一個動點P到直線l與y軸的距離之和的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意設點P的坐標為（a²，2a），利用點到直線的距離公式，建立P到直線l與y軸的距離之和關于字母a的二次函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的性質加以計算，可得當P的坐標為（

1

3

，

2

3

）時所求距離之和的最小值為1．

解答：解：∵動點P在拋物線C：y²=4x上，
∴設點P的坐標為（a²，2a），可得P到y(tǒng)軸的距離d₁=a²．
P到直線l：4x-3y+6=0的距離d₂=

|4a2-6a+6|

42+(-3)2

=

1

5

|4a²-6a+6|，
∵4a²-6a+6=4（a-

3

4

）²+

15

4

＞0，
∴d₂=

1

5

（4a²-6a+6），
可得動點P到直線l與y軸的距離之和為：
d₁+d₂=a²+

1

5

（4a²-6a+6）=

9

5

（a²-

2

3

a+

2

3

）=

9

5

（a-

1

3

）²+1，
由此可得當a=

1

3

時，d₁+d₂的最小值為1，
即當P的坐標為（

1

3

，

2

3

）時，動點P到直線l與y軸的距離之和的最小值為1．
故答案為：1

點評：本題求拋物線上的動點到兩條定直線的距離之和的最小值．著重考查了點到直線的距離公式、拋物線的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．