精英家教網(wǎng)如圖，B為△APC的邊AC上的一點(diǎn)，且AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，∠PBA=θ．
（1）求tanθ的值；
（2）求
PA
•
PC
的值．
分析：（1）先根據(jù)∠APB=90°，AB=a，∠PBA=θ，求PB的值，進(jìn)而在△BPC中，利用正弦定理求得sinθ=2cosθ．進(jìn)而求得tanθ的值．
（2）根據(jù)（1）中的sinθ=2cosθ，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinθ和cosθ的值，進(jìn)而求得PA和PB，利用余弦定理求得PC，最后根據(jù)向量積公式求得答案．
解答：解：（1）∵∠APB=90°，AB=a，∠PBA=θ，∴PB=acosθ．
又在△BPC中，BC=a，∠BPC=45°，∴∠BCP=θ-45°，
∴
a
sin45°
=
PB
sin(θ-45°)
，∴
a
sin45°
=
acosθ
sin(θ-45°)
，
∴sin45°cosθ=sin（θ-45°）．∴sinθ=2cosθ．tanθ=2．
（2）由（1）知sinθ=2cosθ，又sin2θ+cos2θ=1
∴sinθ=
2
5
5
，cosθ=
5
5
．∴PA=asinθ=
2
5
a
5
，PB=acosθ=
5
a
5
.
在△BPC中，BC=a，PB=
5
a
5
，
∴PC2=a2+(
5
a
5
)2-2a•
5
a
5
cos(π-θ)=
8a2
5
，∴PC=
2
10
a
5
.
從而
PA
•
PC
=|
PA
|•|
PC
|cos135°=
2
5
a
5
•
2
10
a
5
•(-
2
2
)=-
4a2
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鷹潭一模）如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．
（I）求證：BC⊥平面APC；
（Ⅱ）若BC=3，AB=1O，求點(diǎn)B到平面DCM的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆吉林長(zhǎng)春市高二第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知，如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，AC=AB，CO交⊙O于點(diǎn)P，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F，   BP的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E.

⑴求證：FA∥BE；

⑵求證：

【解析】本試題主要是考查了平面幾何中圓與三角形的綜合運(yùn)用。

（1）要證明線線平行，主要是通過(guò)證明線線平行的判定定理得到

（2）利用三角形△APC∽△FAC相似，來(lái)得到線段成比列的結(jié)論。

證明：（1）在⊙O中，∵直徑AB與FP交于點(diǎn)O ∴OA=OF

 ∴∠OAF=∠F  ∵∠B=∠F  ∴∠OAF=∠B ∴FA∥BE

（2）∵AC為⊙O的切線，PA是弦  ∴∠PAC=∠F

∵∠C=∠C ∴△APC∽△FAC  ∴

∴ ∵AB=AC  ∴

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，B為△APC的邊AC上的一點(diǎn)，且AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，∠PBA=θ．
（1）求tanθ的值；
（2）求數(shù)學(xué)公式的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年湖北省黃岡市名校高考數(shù)學(xué)模擬試卷06（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，B為△APC的邊AC上的一點(diǎn)，且AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，∠PBA=θ．
（1）求tanθ的值；
（2）求的值．

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