Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c （a≠0）中，a，b，c均為整數(shù)，且f（0），f（1）均為奇數(shù)．
求證：f（x）=0無整數(shù)根．

Answer 1

【答案】分析：先通過條件得到a，b同奇偶，然后分別討論若a，b同為偶數(shù)與同為奇數(shù)兩種情形，然后根據(jù)數(shù)值的奇偶進(jìn)行判定方程有無整數(shù)根．
解答：證明：f（0）=c為奇數(shù)
f（1）=a+b+c為奇數(shù)，則a+b為偶數(shù)
所以a，b同奇偶
假設(shè)整數(shù)根t，所以f（t）=0 即at²+bt+c=0
若a，b同為偶數(shù)，則at²+bt為偶數(shù)，所以at²+bt+c為奇數(shù)可得at²+bt+c≠0
與at²+bt+c=0矛盾
若a，b同為奇數(shù)，
若t為偶數(shù)則at²+bt為偶數(shù)
若t為奇數(shù)則at²+bt為偶數(shù)
所以 at²+bt+c為奇數(shù) 可得at²+bt+c≠0與at²+bt+c=0矛盾
綜上所述方程f（x）=0無整數(shù)根
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．