Question

函數(shù)f（x）=（x²+bx+c）e^x在點M（0，f（0））處的切線方程是x+2y+1=0．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求當f（x）取最小值時x的取值，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=（x²+bx+c）e^x在點P（0，f（0））處的切線方程為2x+y+1=0，可求得f（0）的值，求導，令f′（0）=-2，解方程組可求得b，c的值，從而求出f（x）的表達式；
（2）令導函數(shù)f′（x）=0，求解，分析導函數(shù)的符號，可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)（2）求出極值以及根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的最小值．

解答：解（1）f′（x）=（2x+b）e^x+（x²+bx+c）e^x                                     2′
由于函數(shù)f（x）在點M（0，f（0））處的切線方程是x+2y+1=0．
故

0+2f(0)+1=0 f′(0)=b+c=- 1 2

解之得b=0，c=-

1

2

∴f（x）=（x²-

1

2

）e^x                                                          5′
（2）f′（x）=（x²+2x-

1

2

）e^x
令f′（x）=0，則x²+2x-

1

2

=0，得x₁=

-2+ 6

2

，x₂=

-2- 6

2

7′

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

9′
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1-

6

2

]，[-1+

6

2

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為[-1-

6

2

，-1+

6

2

]10′
（3）由（2）知，當x=-1+

6

2

時，f（x）取極小值，
f（-1+

6

2

）=[（-1+

6

2

）²-

1

2

]e^-1+

6

2

＜0                           12′
又∵當x∈（-∞，-1-

6

2

]，f（x）＞0
故當f（x）取最小值時，x=-1+

6

2

．                                      14′

點評：本題主要考查函數(shù)導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．