Question

已知：p：函數(shù)g(x)=x+

a+1

x

，g（x）在區(qū)間（0，2]上的值不小于6；q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使p、q中有且只有一個(gè)為真命題．

Answer 1

分析：先分別求出命題p、q為真命題時(shí)的a的取值范圍，進(jìn)而討論p真q假，p假q真，即可得出答案．

解答：解：若P為真時(shí)：由題意知g(x)=x+

a+1

x

≥6，x∈（0，2]
∴a+1≥x（6-x）即a≥-x²+6x-1，x∈（0，2]，
令h（x）=-x²+6x-1，x∈（0，2]．
而h（x）=-x²+6x-1=-（x-3）²+8
∴x∈（0，2]時(shí)，h（x）_max=h（2）=7
∴a≥7．
若q為真時(shí)，
當(dāng)△＜0時(shí)，A=φ，此時(shí)（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0；
當(dāng)△≥0時(shí)，A≠φ，由A∩B=φ，x₁x₂=1＞0，得

△=(a+2)2-4≥0   x1+x2=-(a+2)＜0

，解得a≥0；
故a＞-4．
①要使P真q假，則

a≥7 a≤-4

，∴a不存在；
②要使P假q真，則

a＜7 a＞-4

得-4＜a＜7．
∴當(dāng)實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-4，7）時(shí)，p、q中有且只有一個(gè)為真命題．

點(diǎn)評(píng)：正確求出命題p、q都為真命題時(shí)的a的取值范圍和利用分類討論的方法是解題的關(guān)鍵．