Question

設(shè)f（x）=e^x（ax²-7x+13），其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線l：2ex-y+e=0平行．
（1）確定a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用曲線在切點處的導數(shù)為斜率求曲線的切線斜率，利用直線平行，它們的斜率相等列方程，從而可確定a的值；
（2）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意，f'（x）=e^x（ax²-7x+13）+e^x（2ax-7）=e^x[ax²+（2a-7）x+6]，
故f'（1）=e（3a-1）．
因為直線直線l：2ex-y+e=0的斜率為2e，
所以e（3a-1）=2e，從而a=1；
（2）f'（x）=e^x（x²-5x+6）=e^x（x-2）（x-3），
由f'（x）≥0得x≤2或x≥3，由f'（x）＜0得2＜x＜3．
故f（x）的單增區(qū)間為（-∞，2）和（3，+∞），單減區(qū)間為（2，3）．

點評：本題考查兩條直線平行，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導數(shù)的幾何意義：曲線在切點處的導數(shù)值是切線的斜率．