Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：f（x）≥lnx-x+2．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知x＞0，f′（x）=2x-=，令f′（x）=0，得x=-1（舍）或x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（lnx-x+2）=x²-3lnx+x-2，
g′（x）=2x-+1==，
令g′（x）＞0，得x＞1，令g′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（x）_min=g（1）=0，
所以g（x）≥0，即f（x）≥lnx-x+2．
分析：（Ⅰ）求出f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-（lnx-x+2）=x²-3lnx+x-2，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）_min≥0，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想．