Question

f(x)=

ax2+1 -bx x≥0 cex x＜0

其中a＞0
（1）若f（x）在R上連續(xù)，求c
（2）若要使

lim

x→+∞

f(x)=0，則a與b應(yīng)滿足哪些條件？
（3）若對(duì)于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的單調(diào)減函數(shù)，求b的范圍．

Answer 1

分析：（1）：由f（x）在R上連續(xù)，可得

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0-

f(x)=1，從而可求c
（2）b＜0，顯然不成立，則b＞0，對(duì)所求的式子

ax2+1

-bx進(jìn)行分子有理化，進(jìn)而可求得極限為0時(shí)a，b的關(guān)系
（3）由對(duì)于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的單調(diào)減函數(shù)可得f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時(shí)恒成立，分離可得b≥

ax

ax2+1

在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時(shí)恒成立，通過求解

ax

ax2+1

的最大值可求b的范圍

解答：解：（1）：因?yàn)閒（x）在R上連續(xù)，所以

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0-

f(x)=1
∴c=1
（2）若b＜0，則顯然不成立
∵

lim

x→+∞

f(x)=

lim

x→+∞

ax2+1

-bx=

lim

x→+∞

ax2+1-b2x2

ax2+1 +bx

=

lim

x→+∞

(a-b2) + 1 x2

a x2 + 1 x4 + b x

故當(dāng)且僅當(dāng)b＞0，且a=b²時(shí)

lim

x→+∞

f(x)=0
（3）∵對(duì)于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的單調(diào)減函數(shù)
即f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時(shí)恒成立
∴(

ax2+1

)′-b≤0
∴b≥

ax

ax2+1

在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時(shí)恒成立
因?yàn)?span id="u2ki0ea" class="MathJye">

ax

ax2+1

=

a

a+ 1 x2

＜

a

a

=

a

≤

3

∴b≥

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的連續(xù)的定義的應(yīng)用，∞-∞型的極限的求解，一般的 處理方法是進(jìn)行分子有理化，及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用