Question

若n為正整數(shù)，則函數(shù)f（x）=lnx-

1

n

xⁿ+

1

n2

-2的最大值為g（n），則g（n）的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)法分析出函數(shù)f（x）=lnx-

1

n

xⁿ+

1

n2

-2的單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx-

1

n

xⁿ+

1

n2

-2取最大值，即g（n）=

1

n2

-

1

n

-2，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得g（n）的最小值．

解答： 解：∵f（x）=lnx-

1

n

xⁿ+

1

n2

-2
∴f′（x）=

1

x

-x^n-1，
令f′（x）=0，則x=1，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)的為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)的為減函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx-

1

n

xⁿ+

1

n2

-2取最大值，
即g（n）=

1

n2

-

1

n

-2，
令t=

1

n

，則

1

n2

-

1

n

-2=t²-t-2，
∵y=t²-t-2的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線t=

1

2

為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)t=

1

2

，即n=2時(shí)，g（n）的最小值為-

9

4

，
故答案為：-

9

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．