Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+c的圖象為曲線C．
（1）若曲線C上存在點(diǎn)P，使曲線C在P點(diǎn)處的切線與x軸平行，求a，b的關(guān)系；
（2）若函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3時(shí)取得極值，求此時(shí)a，b的值；
（3）在滿足（2）的條件下，f（x）＜2c在x∈[-2，6]恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

（1）f'（x）=3x²-2ax+b，設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），
則曲線y=f（x）在點(diǎn)P的切線的斜率k=f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b
由題意知f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b=0有解，
∴△=4a²-12b≥0，即a²≥3b．
（2）若函數(shù)f（x）可以在x=-1和x=3處取得極值，
則f'（x）=3x²-2ax+b有兩個(gè)解x=-1和x=3，且滿足a²≥3b，
利用韋達(dá)定理得a=3，b=-9．
（3）由（2）得f（x）=x³-3x²-9x+c根據(jù)題意，c＞x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）恒成立，
令函數(shù)g（x）=x³-3x²-9x（x∈[-2，6]），由g′（x）=3x²-6x-9，令g′（x）=0得出x=-1或3，
當(dāng)x∈[-2，-1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在x∈[-2，-1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-1，3）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在x∈（-1，3）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（3，6），g′（x）＞0，g（x）在x∈（3，6）上單調(diào)遞增，
因此，g（x）在x=-1時(shí)有極大值5，且g（6）=54，g（-2）=-2．
∴函數(shù)g（x）=x³-3x²-9x（x∈[-2，6]）的最大值為54，所以c＞54．