Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣ ，其中a∈R
（1）設函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)h（x）=x﹣alnx+ 的定義域為（0，+∞），

h′（x）=1﹣ ﹣ = ，

①當1+a≤0，即a≤﹣1時，

h′（x）＞0，

故h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

②當1+a＞0，即a＞﹣1時，

x∈（0，1+a）時，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）時，h′（x）＞0；

故h（x）在（0，1+a）上是減函數(shù)，在（1+a，+∞）上是增函數(shù)

（2）解：由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]，

①當a≤﹣1時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為

h（1）=1+1+a＜0，

解得，a＜﹣2；

②當﹣1＜a≤0時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為

h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；

③當0＜a≤e﹣1時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為

h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，無解；

④當e﹣1＜a時，

存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為

h（e）=e﹣a+ ＜0，

解得，a＞ ；

綜上所述，

a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪（ ，+∞）

【解析】（1）先求函數(shù)h（x）的定義域，求出函數(shù)h（x）的導數(shù)，從而討論判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而化存在性問題為最值問題，從而解得．
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．