Question

在空間直角坐標(biāo)系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，-3），試問
（1）在y軸上是否存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|？
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）若能求出y軸上點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|，則問題得到解決，故可先假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立關(guān)于參數(shù)y的方程，求y，若y值存在，則說明假設(shè)成立，在y軸上 存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|，否則說明不存在．
（2）由（1）知，△MAB為等腰三角形，若能證明|MA|=|AB|則可以說明存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形，故可令|MA|=|AB|建立方程求y，若y值存在，則說明存在，否則說明不存在．

解答：解：（1）假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|．
因M在y軸上，可設(shè)M（0，y，0），由|MA|=|MB|，
可得

32+y2+12

=

12+y2+32

，
顯然，此式對(duì)任意y∈R恒成立．
這就是說y軸上所有點(diǎn)都滿足關(guān)系|MA|=|MB|．
（2）假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形．
由（1）可知，y軸上任一點(diǎn)都有|MA|=|MB|，
所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等邊三角形．
因?yàn)閨MA|=

(3-0)2+(0-y)2+(1-0)2

=

10+y2

|AB|=

(1-3)2+(0-0)2+(-3-1)2

=

20

于是

10+y2

=

20

，解得y=±

10

故y軸上存在點(diǎn)M使△MAB等邊，
M坐標(biāo)為（0，

10

，0），或（0，-

10

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查用兩點(diǎn)距離公式判斷點(diǎn)M的存在性問題．其規(guī)律是假設(shè)存在，建立相關(guān)等式，求解，若能解出則說明假設(shè)成立，否則說明假設(shè)的對(duì)立面成立．在存在性問題的判斷中，常用這一思路來解決問題．學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)好好體會(huì)其中的邏輯關(guān)系以及此方法適應(yīng)的范圍．