Question

已知函數(shù)f（x）=x（1-x）²．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求實(shí)數(shù)a，b的值，使在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]；．
（3）是否存在區(qū)間[a，0]，使f（x）在區(qū)間[a，0]上的值域?yàn)閇ka，0]，且使k的值最��？若存在，求出k的最小值及此時(shí)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)于三次函數(shù)：“f（x）=x（1-x）²．的極值問(wèn)題利用其導(dǎo)數(shù)解決；
（2）三次函數(shù)的值域問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，須針對(duì)最大值b與最小值a的取值情況進(jìn)行討論；
（3）對(duì)于存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問(wèn)題求解判斷，若不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在；若出現(xiàn)矛盾，則否定存在．
解答：解：（1）f（x）=x³+2x²+x，則f'（x）=3x²+4x+1（1分）
令f'（x）=0解得：，（2分）

∴f（x）的極大值為f（-1）=0，極小值為（4分）
（2）若最大值b與最小值a均在端點(diǎn)處取得，則有或（5分）
①當(dāng)時(shí)，則a，b即為方程f（x）=x的解，解得x₁=0，x₂=-2．
當(dāng)-2≤x≤0時(shí)，-2≤f（x）≤0，檢驗(yàn)知符合題意（6分）
②當(dāng)時(shí)，則有
相減得：（a-b）[a²+（b+2）a+（b²+2b+2）]=0．
又a≠b，而方程a²+（b+2）a+（b²+2b+2）=0中，方程無(wú)解，故此時(shí)a，b不存在．
（8分）
若最大值b在區(qū)間（a，b）內(nèi)取得，則b必為f（x）的極大值0，但b=0時(shí)f（b）=b，矛盾．
若最小值a在區(qū)間（a，b）內(nèi)取得，則a必為f（x）的極小值，但f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，必有f（a）=a，矛盾．
綜上得：a=-2，b=0（10分）
（3）易知k＞0，．
若f（a）=ka，則a（1+a）²=ka即k=（1+a）²，而此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)k有最小值為．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)k有最小值（12分）
若最小值ka在區(qū)間（a，0）內(nèi)取得，則ka必為f（x）的極小值，即，而此時(shí)，∴．
綜上得：k的最小值為，此時(shí)（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，最值問(wèn)題，以及存在性問(wèn)題的解決方法，對(duì)于存在判斷型問(wèn)題，解題的策略一般為先假設(shè)存在，然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問(wèn)題求解判斷，若不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在；若出現(xiàn)矛盾，則否定存在．這是一種最常用也是最基本的方法．