Question

已知a＜2，．（注：e是自然對數(shù)的底）
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若存在x₁∈[e，e²]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，再分類討論，利用導數(shù)的正負，可得f（x）的單調區(qū)間；
（2）由題意，存在x₁∈[e，e²]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，等價于對任意x₁∈[e，e²]及x₂∈[-2，0]，f（x）_min＜g（x）_min，確定函數(shù)的單調性，求出最值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）由題意可得f（x）的定義域為（0，+∞），
∵a＜2，∴a-1＜1
①當a-1≤0，即a≤1，∴x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
②當0＜a-1＜1，即1＜a＜2，∴x∈（0，a-1）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，x∈（a-1，1）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
綜上所述，當a≤1時，f（x）的單調減區(qū)間是（0，1），單調增區(qū)間是（1，+∞）；當1＜a＜2時，f（x）的單調減區(qū)間是（a-1，1），單調增區(qū)間是（0，a-1），（1，+∞）；
（2）由題意，存在x₁∈[e，e²]，使得對任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，等價于對任意x₁∈[e，e²]及x₂∈[-2，0]，f（x）_min＜g（x）_min，
由（1），當a＜2，x₁∈[e，e²]時，f（x）是增函數(shù)，f（x）_min=f（e）=
∵g′（x）=x（1-e^x），對任意的x₂∈[-2，0]，g′（x）≤0
∴g（x）是奇函數(shù)，∴g（x）_min=g（0）=1
∴
∴
∵a＜2
∴
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．