Question

如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥AB，PA⊥AD，點(diǎn)Q是PA的中點(diǎn)，PA=4，AB=2．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求點(diǎn)Q到BD的距離；
（3）求點(diǎn)A到平面QBD的距離．

Answer 1

分析：（1）先證明PA⊥平面ABCD，由于AC為斜線PC在平面ABCD內(nèi)的射影，AC⊥BD，根據(jù)三垂線定理可證PC⊥BD；
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OQ，則可知OQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)Q到BD的距離，從而可求點(diǎn)Q到BD的距離；
（3）過(guò)A作AH⊥OQ于H，則可知AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面QBD的距離，在△QAO中，利用等面積可求．

解答：解：（1）連接AC
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD（2分）
∴AC為斜線PC在平面ABCD內(nèi)的射影
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD
∴PC⊥BD（4分）
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OQ
∵Q為PA中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)
∴OQ∥PC
∵PC⊥BD
∴OQ⊥BD
∴OQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)Q到BD的距離（7分）
∵AB=2，PA=4∴AC=2

2

∴OA=

2

，QA=2
∴OQ=

QA2+OA2

=

6

即點(diǎn)Q到BD的距離為

6

（9分）
（3）過(guò)A作AH⊥OQ于H
∵BD⊥QO，BD⊥PA
∴BD⊥平面AOQ∴BD⊥AH
又AH⊥OQ
∴AH⊥平面QBD
∴AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面QBD的距離（12分）
在△QAO中，OQ=

6

，AQ=2，AO=

2

∴AH=

AQ • AO

OQ

=

2× 2

6

=

2 3

3

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以線線垂直為載體，考查線面垂直，考查點(diǎn)線、點(diǎn)面距離，關(guān)鍵是得出表示點(diǎn)線、點(diǎn)面距離的線段．