Question

（2010•石家莊二模）已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)為a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若y=cos²A+cos²C，求y的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，移項(xiàng)后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)A為三角形的內(nèi)角，得到sinA不為0，進(jìn)而得到cosB的值，再由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）由第一問求出的B的度數(shù)，根據(jù)內(nèi)角和定理得到A+C的度數(shù)，進(jìn)而得到2A+2C的度數(shù)，用2A表示出2C，接著把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把表示出的2C代入，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值變形，合并后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式把所求式子化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由2A的范圍，得到這個(gè)角的范圍，得到正弦函數(shù)的值域，即可得到所求式子的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，（2分）
即sin（B+C）=2sinAcosB，
因?yàn)?＜A＜π，所以sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2A+2C=

4π

3

，
則y=cos²A+cos²C
=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

[cos2A+cos(

4π

3

-2A)]=1+

1

2

(

1

2

cos2A-

3

2

sin2A)
=1-

1

2

sin(2A-

π

6

)
∵0＜2A＜

4π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
則-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，（8分）
所以y的取值范圍為[

1

2

，

5

4

)．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．