Question

已知函數(shù)f（x）為反比例函數(shù)，且圖象經(jīng)過（-1，2），g（x）=x²-2x．
（1）求函數(shù)f[g（x）]的解析式與定義域；
（2）求函數(shù)f[g（x）]的值域；
（3）判斷并證明函數(shù)f[g（x）]在區(qū)間（2，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代入點求出f（x）的解析式，從而求函數(shù)f[g（x）]的解析式與定義域；（2）分母不能為0；（3）先判斷，后用定義法證明．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=

k

x

，則2=

k

-1

，解得k=-2．
則f（x）=-

2

x

，
則f[g（x）]=

-2

x2-2x

，
由x²-2x≠0解得函數(shù)f[g（x）]的定義域為
{x|x≠0且x≠2}．
（2）∵x²-2x=（x-1）²-1≥-1且x²-2x≠0；
則

-2

x2-2x

＜0或

-2

x2-2x

≥2；
即函數(shù)f[g（x）]的值域為（-∞，0）∪[2，+∞）．
（3）f[g（x）]在區(qū)間（2，+∞）上的單調(diào)遞增，證明如下：
任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

-2

x12-2x1

-

-2

x22-2x2

=-

2(x2-x1)(x2+x1-2)

x1x2(x1-2)(x2-2)

，
∵2＜x₁＜x₂，
∴-

2(x2-x1)(x2+x1-2)

x1x2(x1-2)(x2-2)

＜0，
即：f（x₁）＜f（x₂）；
∴f[g（x）]在區(qū)間（2，+∞）上的單調(diào)遞增．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的定義及其基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．