Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x²=2py（p＞0）相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0，-p），可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯(lián)立得消去y得x²-2pkx-2p²=0．然后由韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解．
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，AC的中點(diǎn)為O'，l與AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，
則O'H⊥PQ，Q'點(diǎn)的坐標(biāo)為（，y₁+），由此入手能夠求出拋物線的通徑所在的直線．
解法2：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0，-p），可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯(lián)立得消去y得x²-2pkx-2p²=0．由弦長(zhǎng)公式得=，又由點(diǎn)到直線的距離公式得．由此能求出△ANB面積的最小值．
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為（x-0）（x-x₁）-（y-p）（y-y₁）=0，
將直線方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，則．由此入手能夠求出拋物線的通徑所在的直線．
解答：解：法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0，-p），
可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯(lián)立得，
消去y得x²-2pkx-2p²=0．
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2p²．
于是
=
=，
∴當(dāng)k=0時(shí)，．
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，
AC的中點(diǎn)為O'，l與AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，
則O'H⊥PQ，Q'點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．
∵，，
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²==，
∴|PQ|²=（2|PH|）²=．
令，得，此時(shí)|PQ|=p為定值，
故滿足條件的直線l存在，其方程為，
即拋物線的通徑所在的直線．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得=，
又由點(diǎn)到直線的距離公式得．
從而，∴當(dāng)k=0時(shí)，．
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為（x-0）（x-x₁）+（y-p）（y-y₁）=0，
將直線方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，
則|x₁-x₂|²=．
設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
則有．
令，得，此時(shí)|PQ|=p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，
即拋物線的通徑所在的直線．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．