Question

有冪函數(shù)若干個，每個函數(shù)至少具有下面三條性質(zhì)之一：

(1)是奇函數(shù)；

(2)是(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)；

(3)函數(shù)的圖象經(jīng)過原點．

又已知同時具有性質(zhì)(1)的共有15個，具有性質(zhì)(2)的共有12個，具有性質(zhì)(3)的共有18個，試問，這些冪函數(shù)共有幾個?其中冪指數(shù)小于零的有幾個?

Answer 1

答案：略
解析：

由冪函數(shù)的性質(zhì)知，在(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)一定是奇函數(shù)，且圖象一定過原點． 又若一個函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象又經(jīng)過原點，則這個函數(shù)一定是在(－∞，＋∞)上的增函數(shù)． 設(shè)這些冪函數(shù)中分別具備性質(zhì)(1)、(2)、(3)的函數(shù)分別構(gòu)成集合A、B、C而冪指數(shù)小于零的構(gòu)成集合D，依題意得card(A)=15，card(B)=12，card(C)=18．又BA，BC，A∩CB，BA∩C，∴A∩C=B． 則card(A∪B∪C)=card(A∪C)=card(A)＋card(C)－card(A∩C)=card(A)＋card(C)－card(B)=15＋18－12=21． 即共有冪函數(shù)21個． 又冪指數(shù)小于零的冪函數(shù)圖象一定不經(jīng)過原點，反之亦然，故其中冪指數(shù)小于零的函數(shù)有21－18=3個． 要注意掌握冪函數(shù)的性質(zhì)與α的不同取值而對應(yīng)，本題中A∩C的道理一定要體會清楚，冪函數(shù)中有些函數(shù)具備這三個性質(zhì)中1個，有的具備2個甚至三個，這與α的取值范圍有關(guān)，因此一定要利用圖象的位置、形狀掌握這些性質(zhì)．