Question

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S。

（1）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；

（2）求面積S的最大值。

Answer 1

（1）S=2（x+r）·，其定義域為{x|0＜x＜r}

（2）

解析:

（1）依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標(biāo)系O－xy（如圖），則點C的橫坐標(biāo)為x。

點C的縱坐標(biāo)y滿足方程+=1（y≥0），解得y=2（0＜x＜r）

S=·2=2（x+r）·，其定義域為{x|0＜x＜r}

（2）記f(x)=4(x+r) ²(r²－x²)，0＜x＜r，

則f’(x)=8(x+r)²(r－2x)    

令f’(x)=0，得x=

因為當(dāng)0＜x＜時，f’(x)＞0；

當(dāng)＜x＜r時，f’(x)＜0，所以f()是f(x)的最大值

因此，當(dāng)x=時，S也取得最大值，最大值為=

即梯形面積S的最大值為