Question

17．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+a+2=0，當(dāng)a為何值時(shí)，該方程：
（1）有兩個(gè)不同的正根；
（2）有不同的兩根且兩根在（1，3）內(nèi)．

Answer 1

分析 （1）方程有兩個(gè)不同的正根，等價(jià)于△=4a²-4（a+2）＞0，且x₁+x₂=2a＞0、x₁•x₂=a+2＞0．由此求得a的范圍．
（2）令f（x）=x²-2ax+a+2，則當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜3}\\{△={4a}^{2}-4（a+2）＞0}\\{f（1）=3-a＞0}\\{f（3）=11-5a＞0}\end{array}\right.$ 時(shí)，滿足條件，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+a+2=0，
當(dāng)△=4a²-4（a+2）＞0，且x₁+x₂=2a＞0、x₁•x₂=a+2＞0時(shí)，
即當(dāng)a＞2時(shí)，該方程有兩個(gè)不同的正根．
（2）令f（x）=x²-2ax+a+2，則當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜3}\\{△={4a}^{2}-4（a+2）＞0}\\{f（1）=3-a＞0}\\{f（3）=11-5a＞0}\end{array}\right.$ 時(shí)，即2＜a＜$\frac{11}{5}$時(shí)，
方程x²-2ax+a+2=0有不同的兩根且兩根在（1，3）內(nèi)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．