Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）+

1

2

且f（

1

2

）=0，當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，f（x）＞0
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式f（ax²+ax+1）≥f（2x²+2x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，令x₂=x₁+t（t＞0），作差f（x₂）-f（x₁），利用已知f（m+n）=f（m）+f（n）+

1

2

且f（

1

2

）=0及x＞

1

2

時(shí)，f（x）＞0，可求得f（x₂）＞f（x₁），從而可判斷其單調(diào)性；
（2）利用（1）知f（x）為R上單調(diào)遞增函數(shù)，f（ax²+ax+1）≥f（2x²+2x）恒成立?（a-2）x²+（a-2）x+1≥0恒成立，于是可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）單調(diào)遞增，證明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則令x₂=x₁+t（t＞0），
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+t）-f（x₁）
=f（x₁）+f（t）+

1

2

-f（x₁）=f（t+

1

2

-

1

2

）+

1

2

=f（t+

1

2

）+f（-

1

2

）+1，
∵f（m+n）=f（m）+f（n）+

1

2

且f（

1

2

）=0，
令m=n=0得f（0）=-

1

2

；
令m=-

1

2

，n=

1

2

可得f（-

1

2

）=-1，
∴f（t+

1

2

）+f（-

1

2

）+1=f（t+

1

2

），
∵t＞0，
∴t+

1

2

＞

1

2

，則f（t+

1

2

）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），故f（x）再R上為單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）∵f（ax²+ax+1）≥f（2x²+2x）恒成立，f（x）為R上單調(diào)遞增函數(shù)，
∴ax²+ax+1≥2x²+2x恒成立，
即（a-2）x²+（a-2）x+1≥0恒成立，
當(dāng)a=2時(shí)，有1≥0恒成立，
故a=2符合題意；
當(dāng)a≠2時(shí)，應(yīng)有

a-2＞0 △=(a-2)2-4(a-2)≤0

，
解得：2＜a≤6，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與賦值能力，屬于難題．