Question

已知圓C方程為：x²+y²=4．
（Ⅰ）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若|AB|=2

3

，求直線l的方程；
（Ⅱ）過圓C上一動點M作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點為N，若向量

OQ

=

OM

+

ON

，求動點Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分類討論：①當(dāng)直線l垂直于x軸時；②若直線l不垂直于x軸．對于②，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．
（Ⅱ）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x₀，y₀）（y₀≠0），Q點坐標(biāo)為（x，y），利用向量的坐標(biāo)運算表示出M的坐標(biāo)，再利用M點在圓上其坐標(biāo)適合方程即可求得動點Q的軌跡方程，最后利用方程的形式進行判斷是什么曲線即可．

解答：解（Ⅰ）①當(dāng)直線l垂直于x軸時，
則此時直線方程為x=1，l與圓的兩個交點坐標(biāo)為(1，

3

)和(1，-

3

)，
其距離為2

3

滿足題意（1分）
②若直線l不垂直于x軸，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0
設(shè)圓心到此直線的距離為d，則2

3

=2

4-d2

，得d=1（3分）
∴1=

|-k+2|

k2+1

，k=

3

4

，
故所求直線方程為3x-4y+5=0
綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1（7分）

（Ⅱ）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x₀，y₀）（y₀≠0），Q點坐標(biāo)為（x，y）
則N點坐標(biāo)是（0，y₀）（9分）
∵

OQ

=

OM

+

ON

，
∴（x，y）=（x₀，2y₀）即x₀=x，y0=

y

2

（11分）
又∵x₀²+y₀²=4，∴x2+

y2

4

=4(y≠0)
∴Q點的軌跡方程是

x2

4

+

y2

16

=1(y≠0)，（13分）
軌跡是一個焦點在y軸上的橢圓，除去長軸端點．（14分）

點評：本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應(yīng)用、軌跡方程的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．