Question

（2012•湖南模擬）某工廠統(tǒng)計資料顯示，產(chǎn)品次品率p與日產(chǎn)量n （件）（n∈N⁺，且1≤n≤98）的關(guān)系表如下：

n	1	2	3	4	…	98
p	2 99	1 49	2 97	1 48	…	1

又知每生產(chǎn)一件正品盈利a元，每生產(chǎn)一件次品損失

a

2

元（a＞0）．
（1）將該廠日盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量n（件）的一種函數(shù)關(guān)系式；
（2）為了獲得最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？（

3

≈1.73）．

Answer 1

分析：（1）由題意可知p=

2

100-n

（1≤n≤98，n∈N₊）．日產(chǎn)量n件中，正品（n-pn）件，從而可得日盈利額函數(shù)；
（2）求出日產(chǎn)量函數(shù)，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意可知p=

2

100-n

（1≤n≤98，n∈N₊）．日產(chǎn)量n件中，正品（n-pn）件，
日盈利額T（n）=a（n-pn）-

a

2

pn=a（n-

3n

100-n

）（1≤n≤98，n∈N₊）．
（2）

T(n)

a

=3+n-

300

100-n

（a＞0）=103-[（100-n）+

300

100-n

]≤103-2

300

≈68.4，當(dāng)且僅當(dāng)100-n=

300

100-n

，
即n=100-10

3

≈82.7，而n∈N₊，且

T(82)

a

＜

T(83)

a

，
故當(dāng)n=83時，

T(n)

a

取得最大值，即T取得最大值．

點(diǎn)評：本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，并考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題．