Question

已知函數(shù)f（x）=

-x3+bx2+cx+d，x＜1 alnx，x≥1

的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O，在x=0處取得極值，且在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線的斜率是-16．
（1）求實(shí)數(shù)b，c，d的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O，在x=0處取得極值，且在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線的斜率是-16，構(gòu)造關(guān)于b，c，d的方程，解方程可得實(shí)數(shù)b，c，d的值；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，分類討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的單調(diào)性，進(jìn)而分析出最大值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x³+bx²+cx+d，則f′（x）=-3x²+2bx+c．
∵函數(shù)f（x）的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O，在x=0處取得極值，且在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線的斜率是-16．
依題意知：

f(0)=d=0 f′(0)=c=0 f′(2)=-12-4b=-16

 解得b=1，c=d=0
（2）由（1）知，f（x）=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1

①當(dāng)-2≤x＜1時(shí)，f′（x）=-3x²+2x，
令f′（x）=0得：x=0或x=

2

3

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

又f（-2）=12，f（

2

3

）=

4

27

，f（0）=0．
∴f（x）在[-2，1）上的最大值為12．
②當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=alnx．
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0，f（x）最大值為0；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增．
∴f（x）在[1，2]最大值為aln2．
綜上，當(dāng)aln2≤12時(shí)，即a≤

12

ln2

時(shí)，f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為12；
當(dāng)aln2＞12時(shí)，即a＞

12

ln2

時(shí)，f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為aln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，熟練掌握導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性和極值的步驟，是解答的關(guān)鍵．