Question

已知a為實數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，當n≥2時，，
（1）當a=100時，填寫下列列表格：

n	2	3	35	100
an

（2）當a=100時，求數(shù)列{a_n}的前100項的和S₁₀₀；
（3）令，求證：當時，．

Answer 1

解：（1）

n	2	3	35	100
an	97	94	3	1

（2）當a=100時，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項成首項為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項開始，奇數(shù)項均為3，偶數(shù)項均為1，
從而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一組共34項，后一組共66項）
=
=1717+132
=1849．
（3）當時，因為，
所以，
當n=2k，k∈N^*時，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k
=
=-
=-
=．
因為1＜a＜，所以，
當n=2k-1，k∈N^*時，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1
=
＜．
所以．
分析：解：（1）當a=100時，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項成首項為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項開始，奇數(shù)項均為3，偶數(shù)項均為1，由此能完成表格．
（2）當a=100時，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項成首項為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項開始，奇數(shù)項均為3，偶數(shù)項均為1，從而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一組共34項，后一組共66項），由此能求出結(jié)果．
（3）當時，因為，所以，由此能夠證明當時，．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運用．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．本題的易錯點是不區(qū)分n的奇偶性，導(dǎo)致出錯．