Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈N*，y∈N*，滿足：①對(duì)任意，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）；②對(duì)任意n∈N*都有f[f（n）]=3n．
（1）試證明：f（x）為N*上的單調(diào)增函數(shù)；
（2）求f（1）+f（6）+f（30）；
（3）令，試證明：，判斷S_n與的大�。ú恍枰�證明）

Answer 1

解：（1）由①知，對(duì)任意a，b∈N*，a＜b，都有（a﹣b）（f（a）﹣f（b））＞0，
由于a﹣b＜0，從而f（a）＜f（b），
所以函數(shù)f（x）為N*上的單調(diào)增函數(shù)． 
（2）令f（1）=a，則a＞1，顯然a≠1，
否則f（f（1））=f（1）=1，與f（f（1））=3矛盾．
從而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，
即a＜3．
于是得1＜a＜3，
又a∈N*，從而a=2，即f（1）=2． 
而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
  f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
 f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54﹣27=81﹣54=27，
而且由（I）知，函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，
因此f（30）=54+3=57．
從而f（1）+f（6）+f（30）=2+9+57=68． 
（3），，a₁=f（3）=6．
即數(shù)列{a_n}是以6為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
∴．
于是，
顯然，