Question

設(shè)f(x)=x-

a-1

x

-alnx（a∈R）．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a∈(-∞，1+

1

e

]∪[1+e，+∞)時(shí)，若在x∈[

1

e

，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）＞e-1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，討論a的取值，使x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，求出變量a的范圍．
（2）要在x∈[

1

e

，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）＞e-1成立，等價(jià)于當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)，f（x）_max＞e-1，根據(jù)第一問(wèn)可求出
f（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值即可．

解答：解：f′(x)=1+

a-1

x2

-

a

x

=

x2-ax+(a-1)

x2

=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

?(x＞0)
當(dāng)a-1≤0時(shí)，

當(dāng)0＜a-1＜1時(shí)，

當(dāng)a-1=1時(shí)，

當(dāng)a-1＞1時(shí)，

綜上所述，當(dāng)a-1＞1，即a＞2時(shí)，x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．（7分）
（2）在x∈[

1

e

，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）＞e-1成立，等價(jià)于
當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)，f（x）_max＞e-1．（9分）
由（1）知，①當(dāng)a≤1+

1

e

，即a-1≤

1

e

時(shí)，
函數(shù)f（x）在[

1

e

，1]上遞減，在[1，e]上遞增，∴f(x)max=max{f(

1

e

)，f(e)}．
由f(

1

e

)=

1

e

-(a-1)e+a＞e-1，解得a＜

e+1

e2-e

．
由f(e)=e-

a-1

e

-a＞e-1，解得a＜1∵

e+1

e2-e

＜1，∴?a＜1；（12分）
②當(dāng)a≥1+e，即a-1≥e時(shí)，函數(shù)f（x）在[

1

e

，1]上遞增，在[1，e]上遞減，f（x）_max=f（1）=2-a≤1-e＜e-1．
綜上所述，當(dāng)a＜1時(shí)，在x∈[

1

e

，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使f（x₀）＞e-1成立．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及存在性問(wèn)題，屬于中檔題．