10.已知等差數(shù)列{an}滿足,若a22+a52=5.則S7的最大值是$\frac{35}{3}$.

分析 可設(shè)a2=$\sqrt{5}$cosα,a5=$\sqrt{5}$sinα,0≤α<2π,求出公差d,首項(xiàng),再由等差數(shù)列的求和公式,結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域,即可得到最大值.

解答 解:由a22+a52=5,
可設(shè)a2=$\sqrt{5}$cosα,a5=$\sqrt{5}$sinα,0≤α<2π,
即有公差d=$\frac{1}{3}$(a5-a2)=$\frac{\sqrt{5}}{3}$(sinα-cosα),
a1=a2-d=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$cosα-$\frac{\sqrt{5}}{3}$sinα,
則S7=7a1+$\frac{7}{2}$×6d=7($\frac{4\sqrt{5}}{3}$cosα-$\frac{\sqrt{5}}{3}$sinα)+7$\sqrt{5}$(sinα-cosα)
=$\frac{7\sqrt{5}}{3}$(cosα+2sinα)=$\frac{35}{3}$($\frac{1}{\sqrt{5}}$cosα+$\frac{2}{\sqrt{5}}$sinα)
=$\frac{35}{3}$sin(α+θ),(其中tanθ=$\frac{1}{2}$,θ在第一象限),
當(dāng)α+θ=2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z時(shí),取得最大值$\frac{35}{3}$.
故答案為:$\frac{35}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的運(yùn)用,考查最值的求法,注意運(yùn)用三角換元法,以及正弦函數(shù)的值域,屬于中檔題.

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