Question

如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為．
（1）求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線PD與AE所成角的正切值；
（3）問(wèn)在棱AD上是否存在一點(diǎn)F，使EF⊥側(cè)面PBC，若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD中點(diǎn)M，設(shè)PO⊥面ABCD，連MO、PM，則∠PMO為二面角的平面角，設(shè)AB=a，則可利用tan∠PAO表示出AO和PO，進(jìn)而根據(jù)求得tan∠PMO的值，則∠PMO可知．
（2）連OE，OE∥PD，∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．根據(jù)AO⊥BO，AO⊥PO判斷出AO⊥平面PBD，進(jìn)而可推斷AO⊥OE，進(jìn)而可知進(jìn)而可知∠AEO為直線PD與AE所成角，根據(jù)勾股定理求得PD，進(jìn)而求得OE，則tan∠AEO可求得．
（3）延長(zhǎng)莫MO交BC于N，取PN中點(diǎn)G，連EG、MG．先證出平面PMN和平面PBC垂直，再通過(guò)已知條件證出MG⊥平面PBC，取AM中點(diǎn)F，利用
EG∥MF，推斷出，可知EF∥MG．最后可推斷出EF⊥平面PBC．即F為四等分點(diǎn)．
解答：解：（1）取AD中點(diǎn)M，設(shè)PO⊥面ABCD，連MO、PM，則∠PMO為二面角的平面角，∠PAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，，
設(shè)，，
∴∠PMO=60°．
（2）連OE，OE∥PD，∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．
．
∵
∴
（3）延長(zhǎng)莫MO交BC于N，取PN中點(diǎn)G，連EG、MG．
．
又
取AM中點(diǎn)F，∵EG∥MF∴
∴EF∥MG．
∴EF⊥平面PBC．
即F為四等分點(diǎn)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二面角及其度量，解題的關(guān)鍵是通過(guò)巧妙設(shè)置輔助線找到二面角．