Question

如圖，在底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為x的圓柱．
（1）求圓錐的體積．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，先求出圓錐的高，利用圓錐的體積公式求得圓錐的體積V_錐=

1

3

×π×9×4，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）在△PEB中，F(xiàn)N∥BE，利用成比例線段求出FN=3-

3

4

x，代入圓柱的側(cè)面積S化簡(jiǎn)可得S=-

3π

2

x² +6πx，是一個(gè)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=2的拋物線，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最大值．

解答：解：（1）如圖所示：∵圓錐的高 PE=

PB2-EB2

=4，
故圓錐的體積V_錐=

1

3

×π×9×4=12π．
（2）在△PEB中，F(xiàn)N∥BE，則

PF

PE

=

FN

EB

，則  

4-x

4

=

FN

3

，解得FN=3-

3

4

x．
圓柱的側(cè)面積S=2π×rx=2π  (3-

3

4

x)x=-

3π

2

x² +6πx，
S的圖象是一個(gè)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=2 的拋物線，且0＜x＜4．
故當(dāng)x=2時(shí)，圓柱的側(cè)面積S有最大值為6π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓錐的體積，圓柱的表面積的計(jì)算方法，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．