Question

函數(shù)f（x）=ax^m（1-x）ⁿ在區(qū)間[0，1]上的圖象如圖所示，則m，n的值可能是（ ）
A．m=1，n=1
B．m=1，n=2
C．m=2，n=1
D．m=3，n=1

Answer 1

【答案】分析：由圖得，原函數(shù)的極大值點(diǎn)小于0.5．把答案代入驗(yàn)證看哪個對應(yīng)的極值點(diǎn)符合要求即可得出答案．
解答：解：由于本題是選擇題，可以用代入法來作，
由圖得，原函數(shù)的極大值點(diǎn)小于0.5．
當(dāng)m=1，n=1時，f（x）=ax（1-x）=-a+．在x=處有最值，故A錯；
當(dāng)m=1，n=2時，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax（1-x）²=a（x³-2x²+x），所以f'（x）=a（3x-1）（x-1），令f'（x）=0⇒x=，x=1，即函數(shù)在x=處有最值，故B對；
當(dāng)m=2，n=1時，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax²（1-x）=a（x²-x³），有f'（x）=a（2x-3x²）=ax（2-3x），令f'（x）=0⇒x=0，x=，即函數(shù)在x=處有最值，故C錯；
當(dāng)m=3，n=1時，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax³（1-x）=a（x³-x⁴），有f'（x）=ax²（3-4x），令f'（x）=0，⇒x=0，x=，即函數(shù)在x=處有最值，故D錯．
故選 B．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的最值（極值）點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．本本題考查利用極值求對應(yīng)變量的值．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．