Question

若對(duì)任意x∈R，y∈R有唯一確定的f （x，y）與之對(duì)應(yīng)，則稱f （x，y）為關(guān)于x，y的二元函數(shù)．
定義：同時(shí)滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)f （x，y）為關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的廣義“距離”：
（Ⅰ）非負(fù)性：f （x，y）≥0；
（Ⅱ）對(duì)稱性：f （x，y）=f （y，x）；
（Ⅲ）三角形不等式：f （x，y）≤f （x，z）+f （z，y）對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立．
給出下列二元函數(shù)：
①f （x，y）=（x-y）²；
②f （x，y）=|x-y|；
③f （x，y）=

x-y

；
④f （x，y）=|sin（x-y）|．
則其中能夠成為關(guān)于x，y的廣義“距離”的函數(shù)編號(hào)是

 

．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：③中的函數(shù)不滿足（Ⅱ）對(duì)稱性，①中的函數(shù)不滿足（Ⅲ），故①③不能夠成為關(guān)于x，y的廣義“距離”的函數(shù)．
而②④中的函數(shù)都能同時(shí)滿足（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ），故能夠成為關(guān)于x，y的廣義“距離”的函數(shù)．

解答：解：對(duì)于②④中的函數(shù)，滿足（Ⅰ）和（Ⅱ）和（Ⅲ），能夠成為關(guān)于x，y的廣義“距離”的函數(shù)．
對(duì)于①中的函數(shù)，由于不滿足（Ⅲ），不能夠成為關(guān)于x，y的廣義“距離”的函數(shù)．
對(duì)于③中的函數(shù)，因?yàn)椴粷M足（Ⅱ）對(duì)稱性，不能夠成為關(guān)于x，y的廣義“距離”的函數(shù)．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義關(guān)于x，y的廣義“距離”的函數(shù)，關(guān)鍵是檢驗(yàn)（Ⅲ）三角形不等式：f （x，y）≤f （x，z）+f （z，y）對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立．