Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC中點．
（Ⅰ）證明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一點E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，說明理由；若存在，確定點E的位置．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：平面AA₁C₁C⊥平面ABC，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可以得到，只要證明A₁O⊥AC就行了．
（2）此小題由于直線A₁C與平面A₁AB所成角不易作出，再由第（1）問的結(jié)論可以聯(lián)想到借助于空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參數(shù)，轉(zhuǎn)化成法向量n與

A1C

所成的角去解決
（3）有了第（2）問的空間直角坐標(biāo)系的建立，此題解決就方便多了，欲證OE∥平面A₁AB，可以轉(zhuǎn)化成證明OE與法向量n垂直

解答：解：（Ⅰ）證明：因為A₁A=A₁C，且O為AC的中點，
所以A₁O⊥AC．（1分）
又由題意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
交線為AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC．（4分）
（Ⅱ）如圖，以O(shè)為原點，OB，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
由題意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=

1

2

AC=1，
所以得：O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，

3

)，C(0，1，0)，C1(0，2，

3

)，B(1，0，0)
則有：

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)．（6分）

設(shè)平面AA₁B的一個法向量為n=（x，y，z），則有

n• AA1 =0 n• AB =0

?

y+ 3 z=0 x+y=0

，
令y=1，得x=-1，z=-

3

3

所以n=(-1，1，-

3

3

)．（7分）
cos＜n，

A1C

＞=

n• A1C

|n|| A1C |

=

21

7

．（9分）
因為直線A₁C與平面A₁AB所成角θ和向量n與

A1C

所成銳角互余，所以sinθ=

21

7

．（10分）
（Ⅲ）設(shè)E=(x0，y0，z0)，

BE

=λ

BC1

，（11分）
即(x0-1，y0，z0)=λ(-1，2，

3

)，得

x0=1-λ y0=2λ z0= 3 λ

所以E=(1-λ，2λ，

3

λ)，得

OE

=(1-λ，2λ，

3

λ)，（12分）
令OE∥平面A₁AB，得

OE

•n=0，（13分）
即-1+λ+2λ-λ=0，得λ=

1

2

，
即存在這樣的點E，E為BC₁的中點．（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成的角、三角函數(shù)等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力