Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-tx，t∈R
（1）求該函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤-1恒成立，試確定實數(shù)t的取值范圍；
（3）證明：

ln1

2

+

ln2

3

+

ln3

4

+…+

lnn

n+1

≤

n(n-1)

4

，n∈N⁺．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）對于恒成立的問題，采用分離參數(shù)，求出某個函數(shù)的最值即可，
（3）由函數(shù)關(guān)系得到lnn²≤n²-1，繼而得到

lnn

n+1

≤

n-1

2

，累計即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-tx，
∴f′（x）=

1

x

-t=

1-tx

x

，x＞0，
當(dāng)t≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)t＞0時，由1-tx＞0得0＜x＜

1

t

，由1-tx＜0，得x＞

1

t

∴當(dāng)t≤0時，f（x）在定義域（0，+∞）上遞增；
當(dāng)t＞0時，f（x）的增區(qū)間為（0，

1

t

），減區(qū)間為（

1

t

，+∞）．
（2）∵f（x）≤-1恒成立，
∴l(xiāng)nx-tx+1≤0在x＞0時恒成立，
∴t≥

lnx

x

+

1

x

，x＞0，記g（x）=

lnx

x

+

1

x

，x＞0，
∴g′（x）=

1-lnx

x2

-

1

x2

=

-lnx

x2

，
由g′（x）＞0得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴t≥1，
故確定實數(shù)t的取值范圍為[1，+∞）．
（3）令t=1，由（1）知，f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）≤f（1）=0
即lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號．
令x=n²，n∈N⁺，得lnn²≤n²-1，即

lnn

n+1

≤

n-1

2

，
∴

ln1

2

+

ln2

3

+

ln3

4

+…+

lnn

n+1

≤0+

1

2

+

2

2

+

3

2

+…+

n-1

2

=

1

2

（1+2+3+…+n-1）=

1

4

n（n-1），
∴

ln1

2

+

ln2

3

+

ln3

4

+…+

lnn

n+1

≤

n(n-1)

4

，n∈N⁺．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值及不等式證明問題，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力，綜合性較強，屬于中檔題．