Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)且時(shí)，證明：；
（2）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，構(gòu)造新函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明該不等式；（2）解法一是利用參數(shù)分離法將不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為
來(lái)處理；解法二是構(gòu)造新函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為來(lái)處理，求出導(dǎo)數(shù)的根，對(duì)與區(qū)間的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論，以確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而解決題中的問(wèn)題；解法三是利用參數(shù)分離法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為來(lái)處理，而將視為點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，然后利用圖象確定斜率的最小值，從而求解相應(yīng)問(wèn)題；（3）利用分析法將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明不等式，結(jié)合（1）中的結(jié)論
結(jié)合放縮法證明，最后利用累加法證明相關(guān)不等式證明.
試題解析：（1）證明：要證，即證，
令，則，
在單調(diào)遞增，，
，即成立；
（2）解法一：由且可得，
令，，
由（1）知，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，
；
解法二：令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)，有，------6分
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，
對(duì)，恒成立，只需，即；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，對(duì)，恒成立，只需，
而，不合題意，
綜上得對(duì)，恒成立，；
解法三：由且可得，

由于表示兩點(diǎn)、的連線斜率，
由圖象可知在單調(diào)遞減，
故當(dāng)，，
，即；
（3）當(dāng)時(shí)，，則，
要證，即證，
由（1）可知，又
，，
，

，
故.