Question

如圖，已知三角形△ABC與△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，點(diǎn)P，Q分別在線(xiàn)段BD，CD上，沿直線(xiàn)PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合．

（Ⅰ）求證：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求BP的長(zhǎng)；
（Ⅲ）求直線(xiàn)AP與平面BCD所成的角．

Answer 1

（I）見(jiàn)解析;（Ⅱ）1;（Ⅲ）45°

解析試題分析：（I）由面ABC⊥面BCQ又CQ⊥BC推出CQ⊥面ABC,再推出CQ⊥AB;（Ⅱ）作AO⊥BC，垂足為O，則AO⊥平面BCQ，連接OP，由沿直線(xiàn)PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合可知AP=DP即，解得BP=1;（Ⅲ）由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，所以∠APO是直線(xiàn)AP與平面BCD所成的角，，因此直線(xiàn)AP與平面BCD所成的角為45°.
試題解析：（I）證明：∵面ABC⊥面BCQ  又CQ⊥BC
∴CQ⊥面ABC
∴CQ⊥AB；
（Ⅱ）解：作AO⊥BC，垂足為O，則AO⊥平面BCQ，連接OP，
設(shè)AB=1，則BD=2，設(shè)BP=x，
由題意AP=DP，
∴，
∴x=1；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，
∴∠APO是直線(xiàn)AP與平面BCD所成的角，
∴∠APO=45°，
∴直線(xiàn)AP與平面BCD所成的角為45°．
考點(diǎn)：1.空間直線(xiàn)的位置關(guān)系的判定;2.空間兩點(diǎn)間的距離;3.線(xiàn)面角的求解