Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E為BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：PE⊥DE；
（2）若PA=

2

，且E為BC中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)C到面PDE的距離；
（3）設(shè)PA=1，在線段BC上存在這樣的點(diǎn)E，使得二面角P-ED-A的大小為

π

4

．試確定點(diǎn)E的位置．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，通過(guò)證明DE⊥AE，PA⊥DE，證明DE⊥平面PAE，即可證明PE⊥DE；
（2）連接AC，知C到面PDE的距離為點(diǎn)A到面PDE距離的一半．說(shuō)明AF的長(zhǎng)為點(diǎn)A到面PDE的距離．然后求解C到面PDE的距離；
（3）如圖過(guò)A作AQ⊥DE于Q，連AE，AQ，說(shuō)明∠PQA為二面角P-ED-A的平面角．設(shè)CE=x，求出x，即可推出點(diǎn)E在線段BC上距C點(diǎn)的

3

處．使得二面角P-ED-A的大小為

π

4

．

解答：（1）證明：當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，EC=CD=1，從而△DCE為等腰直角三角形，
則∠DEC=45°，同理可得∠AEB=45°，∴∠AED=90°，于是DE⊥AE，
又PA⊥平面ABCD，且DE?平面ABCD，∴PA⊥DE，∴DE⊥平面PAE，又PE?平面PAE，∴DE⊥PE．…（4分）
（2）解：連接AC，知C到面PDE的距離為點(diǎn)A到面PDE距離的一半．
由（1）知面PAE⊥面PDE，過(guò)A做AF⊥PE交于F，則AF⊥面PDE，AF的長(zhǎng)為點(diǎn)A到面PDE的距離．由PA=AE=

2

可得AF=1，
故C到面PDE的距離為

1

2

；…（8分）
（3）解：如圖過(guò)A作AQ⊥DE于Q，連AE，AQ，則PQ⊥DE，∴∠PQA為二面角P-ED-A的平面角．
設(shè)CE=x，則DE=

1+x2

．
在Rt△PAQ中，∵∠PQA=

π

4

，∴AQ=PA=1．
在△ADE中，由面積公式可得

x2+1

=2，解得x=

3

，
故點(diǎn)E在線段BC上距C點(diǎn)的

3

處．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與直線的垂直，點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．