Question

若直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax-1的切線，則a的值為

4或-

11

4

．

．

Answer 1

分析：設出直線y=x與曲線y=x³-3x²+ax-1的切點，求出曲線在切點處的導數值，由導數值等于1列一個關于切點橫坐標和a的方程，再由切點在直線y=x上得另一方程，兩個方程聯立可求a的值．

解答：解：由y=x³-3x²+ax-1，得：y^′=3x²-6x+a．
設直線y=x與曲線y=x³-3x²+ax-1切于（x0，x03-3x02+ax0-1），
又y′|x=x0=3x02-6x0+a，所以，3x02-6x0+a=1①
由（x0，x03-3x02+ax0-1）在直線y=x上，
∴x03-3x02+ax0-1=x0②
由①得，a=1+6x0-3x02③
把③代入②得：x03-3x02+(1+6x0-3x02)•x0-1=x0
整理得：2x03-3x02+1=0，
即(x0-1)2(2x0+1)=0，
所以，x₀=1或x0=-

1

2

．
當x₀=1時，a=1+6×1-3×1²=4．
當x0=-

1

2

時，a=1+6×(-

1

2

)-3×(-

1

2

)2=1-3-

3

4

=-

11

4

．
所以a的值為4或-

11

4

．
故答案為4或-

11

4

．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，函數在某點處的導數，就是對應曲線上在該點處的切線的斜率，考查了利用因式分解求解一元三次方程．此題是中檔題．