已知C0：x2+y2=1和C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）．試問：當(dāng)且僅當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，對C1上任意一點(diǎn)P，均存在以P為頂點(diǎn)，與C0外切，與C1內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論．
分析：利用PQRS是與C0外切，與C1內(nèi)接的平行四邊形，可得PQRS是菱形，于是OP⊥OQ，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，在直角△POQ中，可得
1
r
2
1
+
1
r
2
2
=1，利用點(diǎn)在曲線上，即可求得結(jié)論．
解答：解：設(shè)PQRS是與C0外切，與C1內(nèi)接的平行四邊形，則PQRS是菱形，于是OP⊥OQ

設(shè)P（r1cosθ，r1sinθ），Q（r2cos（θ+90°），r2sin（θ+90°）），
則在直角△POQ中，
r
2
1
+
r
2
2
=
r
2
1
r
2
2
，即
1
r
2
1
+
1
r
2
2
=1
∵
r
2
1
cos2θ
a2
+
r
2
1
sin2θ
b2
=1，即
1
r
2
1
=
cos2θ
a2
+
sin2θ
b2

同理，
1
r
2
2
=
sin2θ
a2
+
cos2θ
b2
，相加可得
1
a2
+
1
b2
=1
反之，若
1
a2
+
1
b2
=1成立，則取P（r1cosθ，r1sinθ），Q（r2cos（θ+90°），r2sin（θ+90°）），
可得即
1
r
2
1
=
cos2θ
a2
+
sin2θ
b2
，
1
r
2
2
=
sin2θ
a2
+
cos2θ
b2
，
∴
1
r
2
1
+
1
r
2
2
=
1
a2
+
1
b2
=1
此時(shí)PQ與C2相切，即存在滿足條件的平行四邊形．
點(diǎn)評：本題考查圓與橢圓知識的綜合，考查學(xué)生的分析解決問題能力，考查計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•遼寧）如圖，已知橢圓C0：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，a，b為常數(shù))，動圓C1：x2+y2=
t
2
1
，b＜t1＜a．點(diǎn)A1，A2分別為C0的左右頂點(diǎn)，C1與C0相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
（I）求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；
（II）設(shè)動圓C2：x2+y2=
t
2
2
與C0相交于A'，B'，C'，D'四點(diǎn)，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，證明：
t
2
1
+
t
2
2
為定值．

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